Ungar-Leech Sieben-Farben-Satz für den Torus von Norton Starr
Die obigen Abbildungen zeigen zwei Seiten des Torus, auf dem eine Karte mit sieben Ländern gezeichnet ist. Jedes Land grenzt an die anderen sechs Länder. [Klicken Sie auf ein Bild, um es zu vergrößern.] Dies beweist die Gültigkeit des Heawoods Satzes. Heawood zeigte, dass jede Karte auf dem Torus mit sieben Farben gefärbt werden kann. (Angemessene Einschränkungen sind zulässig, z. B. die Anforderung, dass jedes Land verbunden sein muss (ohne separate Gebiete wie Alaska).) Die ursprüngliche Karte von sieben Ländern mit sieben Farben wurde von Percy J. Heawood entwickelt. Die hier gezeigte symmetrische Darstellung wurde unabhängig von Peter Ungar und John Leech entwickelt. 1972 habe ich das dargestellte Modell hergestellt. Sein Außendurchmesser beträgt 9 Zoll und es besteht aus zwei zusammengeklebten torusförmigen Hälften. Jede Hälfte wurde in eine Holzform gegossen, die von der Maschinenwerkstatt der Fakultät für Physik für mich vorbereitet wurde.
Referenzen und Kommentare
Anatol Beck, Michael N. Bleicher, und Donald W. Crowe zeigen in Exkursionen in die Mathematik, Worth Pub., 1969, wie man die Konstruktion und Färbung eines solchen Torus darstellen kann. (Farbabbildungen finden Sie auf dem Frontispiz auf der Titelseite und die (äquivalenten) monochromen Abbildungen sind auf S. 67 zu finden.) Dieses Buch wurde aktualisiert und als Exkursionen in die Mathematik: Millennium Edition (Taschenbuch) von A K Peters, Ltd., 2000 (Sehen Sie die Seite 64) neu veröffentlicht.
Sarah-Marie Belcastro und Carolyn Yackel entwarfen und entwickelten den Torus mit sieben Ländern, von denen jedes Land die anderen sechs kontaktiert. Die umfangreiche Arbeit, die mit dieser Entwicklung verbunden ist, wird im Buch von G4G7, Hommage an die bunten Rätsel, beschrieben. Es geht um das Kapitel „Der Sieben-Farben-Torus: mathematisch interessant und nicht trivial zu konstruieren“ für das Buch Hommage an die bunten Rätsel von Ed Pegg Jr., Alan H. Schoen und Tom Rogers, Hrsg., A K Peters, August 2008. Yackels Vorstellung dafür wird im Kapitel veranschaulicht. Diese erscheint auch hier rechts im Bild „Donut der Mathe“.
Weitere gute Illustrationen sowie ein bisschen Geschichte befinden sich auf den letzten drei Seiten von H. S. M. Coxeter, Das Problem der Vier-Farben-Karte, 1840-1890, Mathematiklehrer 52 (April 1959), 283-289.
Eine Anleitung zum Zeichnen von sieben Regionen auf einem Torus finden Sie auf S. 168 in „Mathematischen Modellen“ (2. Aufl.), H. Martin Cundy und A. P. Rollett, Oxford University Press, 1961. (Die meisten meiner eigenen Grenzen wurden markiert, indem eine gespannte Schnur zwischen Punktpaaren des Modells gezogen wurde, eine Methode, die von Geoffrey A. Wilson, einem Studenten in meinem Kurs Geometrie und diskrete Mathematik, Frühjahr 1972, vorgeschlagen wurde.)
Ein Bild meines Gips-Torus erscheint auf der Titelseite von Erkundungen in der Topologie: Kartenfarben, Oberflächen und Knoten, David Gay, Elsevier, 2007.
Susan Goldstine (Amherst College, 1993) zeigt auf ihrer Website eine Vielzahl von Sieben-Farben-Karten auf ungewöhnlichen Tori sowie eine Vorlage und Richtlinien für die Konstruktion. Sehen Sie auch S. 113 ihres Kapitels Geldbörse von Fortunatus in Mathematik mit Handarbeiten, Sarah-Marie Belcastro und Carolyn Yackel, Hrsg., A K Peters, Ltd., 2008.
Die erste bekannte Konstruktion einer Karte mit sieben Regionen auf einem Torus, von denen jede Region die anderen sechs kontaktiert, wurde von Percy J. Heawood präsentiert, einem Pionier in der Untersuchung der Kartenfärbung. Lesen Sie seine Theorie der Kartenfärbung in der Vierteljährlichen Zeitschrift für Reine und Angewandte Mathematik 24 (1890), 332-338. Ein besser zugängliches Bild dieser Karte finden Sie auf S. 114 von Graphentheorie 1736-1936, N. L. Biggs, E. K. Lloyd, und R. J. Wilson, Oxford Univ. Pr., 1976.
Coxeter (a. a. O.) schreibt John Leech 1953 eine symmetrische Darstellung der sieben Regionen auf dem oben gezeigten Torus zu. Sehen Sie Sieben-Regionen-Karten auf dem Torus von John Leech, Mathematische Zeitung, 39, Nr. 328 (Mai 1955), 102-105.
Leech erkennt (Fußnote, S. 103) die essenzielle Äquivalenz seines Schemas mit den Entwicklungen von Peter Ungar, Diagramme, die Karten darstellen, Zeitschrift der Londoner Mathematischen Gesellschaft, 28 (1953), 336-342 an. Im Gegenzug erkennt Ungar die damals noch unveröffentlichte ähnliche Arbeit von Leech an (Fußnote, S. 342.)